"Ma mère a besoin de repos."

Já aceita repouso

Está correta sua tradução e DL já aceitou a minha, que é igual a sua.

Por partes: "a" = 'tem' (verbo "avoir", 3ª pessoa do singular, presente do indicativo); "besoin" = 'necessidade'. Portanto, a locução "avoir besoin" significa 'ter necessidade' (tradução literal) ou 'precisar'.

Sem o "a", teríamos "Ma mère besoin de repos" = 'Minha mãe necessidade de descanso'. Dá até pra Jane entender, mas não soa bem em nenhuma das duas línguas.

Melhor por quê? Por que mudar a estrutura da frase se temos em português um equivalente tão correto e natural como 'Minha mãe precisa de descanso'? É claro que o sentido de sua sugestão é o mesmo, mas em francês também é possível dizer "Ma mère a besoin de se reposer". Não é essa frase que corresponde mais de perto à sua tradução?

Eu tb pus assim e o Duolingo não aceitou. O sentido é o mesmo

Não, a tradução literal é mesmo a dada por DL. "Repos" não é verbo, é substantivo, corresponde a 'descanso' ou 'repouso'.

'A minha mãe tem necessidade de repousar' seria a tradução literal de "Ma mère a besoin de se reposer".