"на́до" is from "на́добность (в чём-то)" (one needs smth.) or "надлежи́т (сделать что-то)" (it is necessary to do smth.)
"ну́жно" is from "нужда́ (в чём-то)" (need of, necessity)

It seems, you're right, "на́до" cannot be used with nouns:

• Мне надо (нужно) быть дома (I need to be at home)
• Мне надо (нужно), чтобы ты был дома (I need you to be at home)

but "ну́жно" can be:

• Мне нужен этот стол (I need this table)
• Мне нужно это яблоко (I need this apple)
• Мне нужна эта кошка (I need this this cat)

You can't say "Мне надо яблоко", it sounds childish.

But sometimes you will hear incomplete sentences in which the verb is implied:

• Мне надо домой / Мне надо ехать домой (I have to go home)
• Если надо - сделаю / Если надо это сделать, то я это сделаю (If it is required to do, I will do it)
• In the market: Что вам нужно? -- Мне надо (купить) 10 яблок (What do you want? -- I need ten apples) [very colloquial]

Also "на́до" is used in a large number of untranslatable set expressions, questions, answers and exclamations:

• Надо так надо (If you must, you must)
• Так тебе и надо (You deserve it)
• Надо? Не надо. (Do you need this? No, I don't)
• Не надо так! (Don't do this!)
• Он парень что надо (He is a great guy)
• Надо бы... (It should be)
• ... and many more

---

In short:

• "ну́жно" indicates the need for something.
• "ну́жно" and "на́до" (colloquial) is about the need to do something.