Porque "amb pare" no suena nada genuino en catalán.

En realidad lo que se está haciendo es omitir el posesivo porque queda determinado por el contexto. Si la relación de parentesco es consabida y se está aludiendo necesariamente al padre de una de las dos personas presentes en la comunicación —emisor y receptor— se suele decir el pare en lugar de el [meu/teu/nostre/vostre] pare.

No. Aceptamos amb el pare, amb el papa, amb el papà, pero no sin artículo. En catalán nos referimos a las personas usando el artículo definido. (Por ejemplo, tú serías el Julio.) Por otra parte, con las relaciones de parentesco se suele omitir el posesivo cuando son consabidas o quedan determinadas por el contexto. Por ejemplo, si se está aludiendo necesariamente al padre de una de las dos personas presentes en la comunicación —emisor y receptor— se suele decir el pare en lugar de el [meu/teu/nostre/vostre] pare.

¿De vegades y a vegades se usa indistintamente? Sí

¿Cuando se dice el pare siempre se refiere a papá? No, pero cuando lo dice un hijo siempre se refiere a su padre, igual que en español diría mi padre. En catalán, aunque podemos decir el meu pare o mon pare, no solemos decirlo si no hay posible ambigüedad. Si el pare remite al propio padre con claridad, es la fórmula preferida.

En cambio, si no lo dice el propio hijo, decir el pare remite al padre de otro. Como cuando una maestra le dice a otra que Ja he parlat amb el pare mientras señala a un alumno. Eso sería equivalente a Ja he parlat amb el pare (del nen). Esta última posibilidad no es aplicable a la oración de este ejercicio, porque exige una hipótesis de contexto bastante restrictiva.

Vegada y cop son sinónimos. Los puedes intercambiar a tu gusto. También tienes volta y pic, quizás un poco menos usables, por ser más propios de variedades, y cas, ocasió, avinentesa, escaiença, oportunitat, situació, etc. como palabras a usar en situaciones formales, cada una con sus matices.