Is szkoły in the genitive case here?
yes. in this sentence it is singular genitive (szkoły can be also plural nominative=accusative)
What about "wychowankiem" instead of "uczniem"?
I guess that would be "alumn"...
Pupil - Uczeń ? W Polsce np. na psa mówi się to jest mój pupil.
W przypadku powstania wątpliwości polecam zajrzeć do słownika.
Amerykanie tego słowa w tym znaczeniu nie używają. Zastępują je słowem "student", co jednak oznacza również "student uniwersytetu". Z powodów dydaktycznych więc używamy tu "pupil".
Could you also have "Jestem uczniem w tej szkole."?
Yes, it works, although it doesn't sound great to me.
Bruh i didn't know what pupil means
What is the feminine version of this? Uczennicą?
Yes indeed :)
Doesn't seem to be accepted as an answer.
Actually I made a mistake with the verb. facepalm
Yes, exactly.
https://en.wiktionary.org/wiki/uczennica#Noun