"Una silla que está rota."

Se puede, con matices. Ante una oración copulativa como esta, con un sujeto inanimado, se usa uno u otro según el dialecto de que se trate. (Yo, que hablo el de Barcelona, nunca usaría 'ésser para decir que algo está roto.) Pero además se debe tener en cuenta que ambos verbos, cuando sean admisibles en una variedad determinada, transmiten un significado distinto. Es mejor usar ésser para referirse a atributos permanentes, propios de la naturaleza del sujeto (el paisatge de l'Empordà és preciós), mientras que estar sirve para expresar estados mutables (el dia està preciós). Dado que normalmente el atributo “roto” de una silla no es intrínseco, sino que es algo que puede cambiarse, es mejor dejar la frase como está traducida.

Sí, tot i que duolingo és possible que t'ho done com errada, romput i rompuda és correcte, encara que és molt local, la major part del domini lingüístic fa servir el verb trencar i no el verb rompre (com es fa a les comarques del sud d'Alacant)