Wydaje mi się, że poprawnie jest również "Kobieta ma własną torebkę". W języku polskim nie stosujemy tak często zaimków dzierżawczych jak w angielskim i przynajmniej w tym zdaniu brzmi to trochę dziwnie.
Zgadzam się. Zaproponowane zdanie brzmi trochę "A woman has a bag on her own"