"I do not study in front of the store but in front of the school."

Translation: Nem az üzlet előtt tanulok, hanem az iskola előtt.

[Apahegy]

Can I say "Nem az üzlet előtt, hanem az iskola előtt tanulok?"

or "Nem az üzlet előtt tanulok, hanem az iskola előtt?"

[Shamarth]

Yes, both are correct. In your first sentence (only there), you can even omit the first "előtt": "Nem az üzlet, hanem az iskola előtt tanulok."

[Apahegy]

You could't do the other way around though?

Nem az üzlet előtt, hanem az iskola tanulok.

[Shamarth]

No, that doesn't work. After the last noun the postposition always has to be included.

[Apahegy]

Szuper. Köszi

[Zsofi_RL]

"bolt" for store should be correct as well.