You can use both and based on what you pick, you'll have to use a different case, for example:

• Ten budynek jest wyższy niż tamten szpital.
• Ten budynek jest wyższy od tamtego szpitala.

"You're earning more than him":

• Zarabiasz więcej niż on.
• Zarabiasz więcej od niego.

"I write faster than you":

• Piszę szybciej niż ty.
• Piszę szybciej od ciebie.

It's almost always "od", I think "ode" is present literally in two phrases: "ode mnie" (from me) and "ale nas zbaw ode złego" (but deliver us from evil).

And in VarHyid's comment the first options use Nominative and the second ones are in Genitive.

Height. If it was about elevation, then we'd say "Ten budynek jest wyżej położony od tamtego szpitala" where "wyżej położony" literally means "laid higher".