"Ella empezó a comer."

Да, empezó - это глагол empezar в простом прошедшем времени - pretérito perfecto simple (Indefinido).

После глагола empezar требуется предлог "a", если за ним стоит другой глагол в инфинитиве. А глагол poder не требует никакого предлога.

Про управление некоторых испанских глаголов можно почитать, например, здесь:
http://www.biglang.com/espanol-leccion12/leccion12parte2
https://speakasap.com/ru/es-ru/grammar/upravlenie-glagolami/

Никакого отличия. Может быть, empezar чуть больше употребляют в Испании, а comenzar в Америке