"У меня нет зеркала на моей кухне."

Потому что говорится о зеркалах в целом. У других на кухне обычно есть зеркало.или зеркала.

Если: Yo no tengo un espejo en mi cocina, то значит: sino en mi habitación (а на моей комнате, к примеру) или sino dos (а два, к примеру).

Если: Yo no tengo el espejo en mi cocina, то значит то самое зеркало, или уникальное зеркало в доме.

Кстати, у кого есть зеркало на кухне? О.о

PD.. Вы также можете сказать: "Yo no tengo ningún espejo en mi cocina".