Son más o menos lo mismo sin embargo "empezar" es un poco más formal.

When did you begin learning English? The meeting didn’t start until 9 pm.

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Sin embargo, utilizamos start, pero no begin, hablar de máquinas:

Press this button to start the printer. The lawnmower won’t start.

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Utilizamos start, pero no begin, para hablar sobre la creación de un negocio:

She started a new restaurant and it’s been going really well.

Qué tal, yo entiendo que "begin" se utiliza en situaciones muy formales por ejemplo en conferencias, en artículos publicados o situaciones similares, y "start" en situaciones menos formales, por ejemplo, cuando inicias una partida en un juego, o una maratón.