Sim, "esperar" se pode traduzir como "aspettare", "aspettarsi" e "sperare" (de acordo com o contexto), e talvez seja uma tradução possível. Mas os significados são diferentes: traduzindo em inglês, "I don't expect surprises" ("Non mi aspetto sorprese") soa absolutamente normal, enquanto "I don't hope for surprises" ("Non spero sorprese") soa um pouco estranho. Não sei sobre italiano, mas em inglês não frequentemente usamos "hope" no negativo.

No Google, há 130 resultados para "non mi aspetto sorprese" mas 0 para "non spero sorprese" (sem ou com "delle")

Po outro lado, há 103 resultados para "Spero di non avere sorprese", ("I hope not to have any surprises"), e há também resultados para "spero sorprese" ("I hope for surprises"), ambos dos quais também fazem sentido em inglês, o verbo "sperare/hope" sendo no positivo.

Há uma diferença de significado entre "aspettare", como na sua frase, e o verbo reflexivo "aspettarsi", como na frase do Duo. Teoricamente "Eu não espero sorpresas" tem três traduções possíveis, em italiano e também em inglês, mas para mim apenas a primeira destas abaixo realmente faz sentido. Espero (com significado de "spero" - "I hope") que as traducões em inglês ajudem um pouco:

"Non mi aspetto sorprese"
= "I don't expect (any) surprises"
(ou seja - não acho que haverá surpresas)
"Non aspetto sorprese"
= "I'm not waiting for (any) surprises"
"Non spero sorprese"
= "I'm not hoping for (any) surprises"

Veja também minha resposta a belsazar0, e este video de Vou aprender italiano, onde Pierluigi explica a diferença (em italiano, mas para Brasileiros):
https://youtu.be/8uZeqxs8nyQ

Há uma explicação aqui, em inglês:
https://blogs.transparent.com/italian/aspettare-or-aspettarsi/

http://dizionari.corriere.it/dizionario_italiano/A/aspettare.shtml