vervollständigen is used for things that can become complete, like a collection, a sentence, a plan etc...

erledigen means to complete an action. You can translate it as getting sth. done

You would say

Vervollständige den Satz. (complete the sentence)

Erledige die Aufgabe. (complete the task)

vervollständigen = to complete und erledigen = to do something

• Wenn ein Puzzle-Teil fehlt, und du fügst das letzte fehlende Teil hinzu, vervollständigst du es.
• Wenn Arbeit zu tun ist, und du führst die Arbeit aus, dann erledigst du die Arbeit.

Vervollständigen Sie bitte das Formular. Please complete the form.

Ich habe alle Aufgaben erledigt. I have completed all tasks.