"Qu'ai-je eu ?"

Sí se escribe así, /kɛʒø/ lo que no te puedo decir con certeza es si la "e" en este caso se escribe como "ɛ" y no como "e", ya que en algunos casos, como "aimer", el sonido de "ai-" es representado con una "e".

Igualmente, a veces la distinción entre "e" y "ɛ" es tan pequeña que algunos diccionarios ponen simplemente "e". Por si no sabías, un factor que in fluye para cambiar el sonido de una vocal es el de la posición de la lengua, y en este caso el cambio es diminuto.

No, por ejemplo, vos decís "Elle a" y no "Ell'a" (te di un ejemplo con el verbo avoir)

No, avoir se conjuga con el mismo avoir.