Prepositions are one of those things that rarely translate directly from one language to another but here are a few pointers that might help:

da + article: usually means from (i soldi cadono dal cielo/money is falling from the sky) but in some instances can mean to (andiamo dalla nonna/we are going to grandma's) or make a word an adjective (sala da pranzo/dining room/dining hall)...

• da + la = dalla
• da + il = dal
• da + lo = dallo
• da + le = dalle
• da + i = dai
• da + gli = dagli

di + article: usually means of (è il ristorante dell'uomo/it is the man's restaurant/it is the restaurant of the man) but can also mean from (di dove sei? where are you from?) or about (scrivo di te/I write about you)...

• di + la = della
• di + il = del
• di + lo = dello
• di + le = delle
• di + i = dei
• di + gli = degli