Ambos "have" y "have got" significan "tener" en este caso. La forma "have got" es más común en el inglés británico. En el inglés de Estados Unidos el uso de "got" después de "have" es más que todo para dar énfasis.
Y los estadounidenses montañosos a veces se dicen "got" en vez de "have". Ejemplo. "Tenemos que irnos" se puede ser traducido como "We got to go / We gotta go".."We have got to go"..y también, "We have to go"
You've a point there. It isn't very natural sounding. Hablaba de la gramática. Pero los estadounidenses tambien suelen usar el sonido "ə" (shwa) en vez de aspirar la H empezante. e.d "We 'ə've sugar'.. "We - uh..ve"