"Der Tag meiner Geburt"

an/ jour/ matin/ soir bezeichnen jeweils einen Zeitpunkt, während année/ journée/ matinée/ soirée jeweils eine Zeitspanne bezeichnen.
Da der Tag der Geburt ein Zeitpunkt ist, muss man hier "jour" verwenden.
Hier gibt es eine gute Erklärung, leider auf Englisch:
http://french.about.com/od/vocabulary/a/an-annee-jour-journee-matin-matinee-soir-soiree.htm

Das bezieht sich auf den Geburtstag jedes Jahr, während der Satz hier sich wahrscheinlich auf den Tag, an dem man geboren wurde, bezieht, nicht aber auf die "Geburtstage" in den Jahren danach.

Etwas wörtlicher betrachtet bedeutet "anniversaire" so etwas wie Jahrestag.