Mine usa-se no final da frase. My usa-se antes de substantivo.

Só deixo meu "pitaco" aqui dar uma dica e ajudar vocês a saírem das regras e procurarem entender um pouco mais do porque isso acontece. A 'regrinha', o jeito fácil - e errado - de se aprender, é gravando que mine se usa apenas no final da frase. O que quero ajudar vocês a entenderem é o porque disso. Isso é aprender inglês.

O MY - também vale pro YOUR, HIS, HER, ITS, OUR, YOUR E THEIR (que são os pronomes possessivos adjetivos ou possessive adjectives) sempre aparecem acompanhados de um substantivo, afinal, a função desse tipo de possessivo é modificar o substantivo. Por isso normalmente eles aparecem no início ou no meio da frase, antecedendo um substantivo.

Por exemplo "My jacket is new"

Temos o MY como possessivo + Jacket como substantivo

Já o MINE - também vale pro YOURS, HIS, HERS, ITS, OURS, YOURS E THEIRS (que são pronomes possessivos substantivos ou possessive pronouns) tem a função de SUBSTITUIR o substantivo para evitar a repetição. Assim, eles nunca são usados antes do substantivo e geralmente aparecem no final das frases.

Por exemplo, usamos o YOURS em uma situação como essa:

Is that car your car? (Aquele carro é o seu carro?)

Para não repetir o substantivo car, substituímos o pronome possessivo adjetivo (your) pelo pronome possessivo substantivo (yours) e a frase fica assim:

Is that car yours? (Aquele carro é o seu?)

E sempre lembrando uma regrinha sim que é útil: Em inglês, nunca se usa artigo (the, a, an) na frente dos pronomes possessivos.

Assim, não falamos "The my book" (o meu livro) ou "The her car is black" (o carro dela é preto), e sim apenas "My book" ou "Her car is black" :D Me corrijam se estiver equivocada em algo.

Existem dois modos de usar o apóstrofo.

Um é como o pessoal explicou aí, sobre a posse.

O outro é a contração do verbo "is". É muito comum com pronomes:

• He's = He is = ele é
• She's = She is = ela é

Mas com substantivos, apesar de se falar como se estivesse contraído, não é uma boa prática para a escrita.

Vamos desmisturar esses pronomes :)

Primeiro, os pessoais:

• I , you, he/she/it, we, you, they
• Eu, tu, ele/ela, nós, vós, eles

Ou seja: you = você

Agora os possessivos que acompanham substantivos (São sempre usados antes de alguma coisa, como "my dog", "your dog", etc. Nunca sozinhos)

• My, your, his/her/its, our, your, their
• Meu, teu, dele/dela, nosso, vosso, deles/delas

E finalmente os possessivos que substituem substantivos. Eles ficam sozinhos:

• Mine, yours, his/hers, ours, yours, theirs
• Meu, teu, dele/dela, nosso, vosso, deles/delas

Veja a diferença:

• My dog is black, yours is white (o primeiro acompanha "dog", o segundo está sozinho). = Meu cão é preto, o teu é branco

• Your dog is white, mine is black (novamente, o primeiro acompanha "dog", o segundo está sozinho) = Teu cão é branco, o meu é preto.

• My dog is black, your dog is white = Meu cão é preto, teu cão é branco

• Mine is black, yours is white = O meu é preto, o teu é branco.

A mesma coisa: the dog is mine.

Em inglês pouquíssimas palavras tem versão feminina.
Se você quiser realmente garantir que o cão é fêmea, se essa informação for importante, você pode dizer "female dog".

Não necessariamente no final, mas sem substantivo.

Um é com substantivo, o outro é sem substantivo.

Quando é com pronomes (he's / she's) é perfeitamente correto.

Quando é direto nos substantivos, pelo menos na escrita é melhor não usar a contração.