"Birthday" - це свято День народження. Він буває щорічно. Наприклад, мій День народження - в травні. Дата народження = Date of birth - це конкретно (число+місяць+рік), одна-єдина на все життя, вказується в документах.
Ви маєте на увазі "A date of birth"? Якщо так, A може означати будь-який день, тоді як «Date of Birth» сама по собі без «a» означає конкретний день вашого народження.