A melhor resposta é ambos. "nom" se refere ao sobrenome ("nom de famille") por oposição a "prénom", mas em termos genéricos também pode ser utilizado com o significado de nome completo (ou conjunto de nomes).

Segundo o Dicionário Larousse (http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/nom/54790?q=nom#54417), entre outras definições, encontram-se:

• Mot qui dénomme une famille et qui constitue l'élément principal de l'identité de chacun de ses membres (par opposition au prénom) [on dit aussi nom de famille]

• Prénom ou ensemble formé par le nom de famille et le prénom.

Está correto e você pode reportar.

"Elas escrevem" ou "Elas estão escrevendo", as duas estão corretas, pois, em francês, não há distinção entre presente simples e presente progressivo. Os dois tipos de ação são descritos usando o presente do indicativo. Se quiser realmente enfatizar que uma ação está em progresso, você pode usar a expressão être + en train de + infinitivo (Elles sont en train d'écrire les noms).

"Nom" é um termo genérico, assim como em português, pode significar o prenome, o sobrenome ou o conjunto de ambos. Para se referir especificamente ao primeiro nome, pode se usar prénom; para se referir ao sobrenome, pode se usar nom de famille.