"The horse is not mine."

Це завсім інше речення англійською: "It is not my horse" ("Це не мій кінь") - акцент у цьому реченні ставиться трохи на іншому, ніж у випадку "Цей кінь не мій" (тут ви, так би мовити, наголошуєте на тому, що цей кінь точно не ваш).

можно так і так. в цому курсі віддають перевагу "THE"

Ви можете сказати "The horse is not mine" (Цей кінь не мій) або "It is not my horse" (Це не мій кінь). Але тут тема про присвійні займенники, тому правильним тут буде саме перший варіант. Крім того смислове навантаження в цих двох варіантах теж дещо відрізнятиметься.

Вичерпна відповідь на Ваше запитання є тут: http://easy-english.com.ua/possessive-pronouns/. Сподіваюся, це Вам допоможе :)

Послухайте відео, де Настя відповідає на Ваше запитання: https://puzzle-english.com/exercise/possessive-pronouns