"I would have managed the institute."

• Het instituut
• De instelling

Beide zijn correct.

That translates to: I would have given management/leadership/direction to the institute, which we wouldn't say in English (it sounds a bit unnatural to my ears).

Sorry maar ik zal dit in het Engels uitleggen omdat het te ingewikkeld is voor mij.

By changing the wording you're changing the grammatical structure of this sentence, adding a constituent which wasn't there in the first place, and changing the grammatical function of an existing constituent.

In

Ik zou het instituut geleid hebben

the grammatical structure is:

ik= subject (onderwerp)

zou... geleid hebben= verb phrase (werkwoord...dingetje :P ) (hoofdwerkwoord: leiden)

het instituut= Direct Object (Direct Voorwerp)

While in

Ik zou leiding gegeven hebben aan het instituut

Ik= onderwerp

zou... gegeven hebben= verb phrase (hoofdwerkwoord: geven)

leiding= Direct Object (Direct Voorwerp)

aan het instituut= Indirect Object (Indirect Voorwerp)

Conceptually, de betekenis is bijna hetzelfde: it comes to the fact that there was a possibility for you to be in charge of the institute. But by changing the wording I think there's a change in emphasis.

Hope this helps!

Het is "het instituut"